Αρχείο κατηγορίας Βιολογία και μαθηματικά

Μια μέθοδος υπολογισμού δεκαδικών ψηφίων του π=3,14 …, μέσω του DNA

Μια μέθοδος υπολογισμού δεκαδικών ψηφίων του π=3,14 …, μέσω του DNA

Του Μαρίνου Σπηλιόπουλου*

   Αν πεις ότι μπορεί να συνδέεται το π (πηλίκο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του) με το DNA (γενετικό υλικό), όλοι θα πουν ότι δεν γίνεται, είναι ασύνδετα πράγματα, κάποιοι θα το χαρακτηρίσουν και πιο «βαριά» ότι είναι ασυναρτησία και ανοησία. Δηλαδή κάτι ανάλογο, σαν να θες να συνδέσεις το μήκος της σκιάς ενός ανθρώπου, με τα χρήματα που έχει στο παντελόνι του. Σε κάποιους αν επιμένεις, μπορεί να πάει το μυαλό τους στην διπλή έλικα του DNA και τη σχέση της με τον κύκλο. Εξάλλου έχει βρεθεί και κυκλικό DNA στους οργανισμούς.

   Πριν αναλύσουμε το θέμα της παρούσης εργασίας, ας πούμε λίγα λόγια για την εμφάνιση του π στην επιστήμη των μαθηματικών και της φυσικής. Στα μαθηματικά περιληπτικά το π, εμφανίζεται στη γεωμετρία: κύκλο, εμβαδό και όγκους δισδιάστατων (σχήματα με κύκλους, ημικύκλια κ.λπ.) και τρισδιάστατων (σφαίρα, κώνος, κύλινδρος κ.λπ.) σχημάτων. Σε άλλους μαθηματικούς κλάδους: στην κανονική κατανομή Γκάους (κωνοειδή καμπύλη), στις κωνικές τομές, στη θεωρία πιθανοτήτων (ειδικές περιπτώσεις), στις απειροσειρές, στις σειρές τόξου εφαπτομένη του Όιλερ και όχι μόνο. Στις «τρελές» εξισώσεις του αυτοδίδακτου Ινδού μαθηματικού Σρινιβάσα Ραμανουτζάν κ.λπ. Στη φυσική πάλι περιληπτικά: στην περίοδο εκκρεμούς, στην αρμονική ταλάντωση, στο κύκλωμα Τόμσον, δυνάμεις Κουλόμπ μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων, κατανομή Μάξγουελ – Μπόλτσμαν, ενέργεια Φέρμι, Αρχή αβεβαιότητας (ή απροσδιοριστίας) του Χάιζεμπεργκ. Επίσης: στην κρίσιμη πυκνότητα του Σύμπαντος, την κοσμολογική σταθερά, στην εξίσωση του Στίβεν Χόκινγκ που περιγράφει το ρυθμό εξάτμισης μιας μαύρης τρύπας του Σύμπαντος κ.λπ. Βλέπουμε το π να μετέχει στους μαθηματικούς τύπους που διέπουν διάφορα φυσικά φαινόμενα του μικρόκοσμου και του μακρόκοσμου, από την συμπεριφορά του ηλεκτρονίου μέχρι την περιοδικότητα των ηχητικών και θαλασσίων κυμάτων, τους τυφώνες, τους σπειροειδείς γαλαξίες, τις μαύρες τρύπες του σύμπαντος κ.λπ. Θα ήταν παράλογο ή καλύτερα αφύσικο, να μην μετέχει και στο DNA το βασικό χημικό μόριο της ζωντανής ύλης, που περικλείει όλες τις πληροφορίες με βάση το γενετικό κώδικα για τη δομή και τις λειτουργίες των κυττάρων και κατ’ επέκταση των ζωντανών οργανισμών. Πολλοί λένε ότι η ζωή και η εξέλιξή της, καθώς και η ιστορία του κόσμου, των πραγμάτων και της ανθρωπότητας, έχει σπειροειδή μορφή. Κάτι σαν την μορφή του DNA.

   Ένα άλλο ζήτημα που πρέπει να ξεκαθαριστεί, είναι γιατί να μας ενδιαφέρει ο υπολογισμός δεκαδικών ψηφίων του π με το DNA, αφού με διάφορους τρόπους οι μαθηματικοί (απειροσειρές, εξισώσεις Ραμανουτζάν, διαφορές τόξου εφαπτομένης, κάποιες άλλες συνδυαστικές εξισώσεις κ.λπ.) και με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών (Η/Υ), έχουν υπολογίσει τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του π. Ελβετοί ερευνητές το 2021 υπολόγισαν 62,8 τρισεκατομμύρια, χρησιμοποιώντας έναν υπερυπολογιστή. Έσπασαν το προηγούμενο ρεκόρ των Γιαπωνέζων. Το ρεκόρ αυτό θα σπάσει σύντομα είτε από τους ίδιους ή κάποιους άλλους και το θέμα δεν θα τελειώσει ποτέ, γιατί τα ψηφία του π είναι άπειρα. Η απάντηση είναι η εξής: ο υπολογισμός έχει αξία γιατί γίνεται με το DNA, το βασικό χημικό μόριο της ζωής. Το DNA έχει από μόνο του «γοητεία», περικλείει απεριόριστη αξία και θαυμασμό, που τα εκφράζει όλα αυτά με διάφορους τρόπους και η σχέση του με το π μπορεί να μην έχει άμεσα πρακτική χρησιμότητα για τα μαθηματικά, δηλώνει όμως κάτι βαθύτερο, μια σοφία, τις πολλές δυνατότητες που έχει η ζωή να λύνει προβλήματα σε διάφορα πεδία κ.λπ. Εξάλλου άλλο να υπολογίζεις κάτι από μια «άψυχη» εξίσωση και άλλο από κάτι ζωντανό. Αυτό από μόνο του έχει αξία και είναι άξιο προσοχής. Εδώ ταιριάζει και κάτι άλλο, που μου αρέσει και είναι αυτονόητο για κάθε μαθηματικό: «οι μαθηματικοί σε ό,τι κάνουν δεν το κάνουν επειδή χρειάζεται και κανείς δεν γνωρίζει από πριν αν κάτι χρειαστεί ή όχι». Ποιος ξέρει, αυτή η ιδιότητα του DNA (να υπολογίζονται δεκαδικά ψηφία του π), να έχει και  «πρακτική αξία» άμεσα ή μελλοντικά, με το να κατανοήσουμε και κάποιες άλλες πτυχές της εξέλιξης της ζωντανής ύλης και των ζωντανών οργανισμών, να κάνουμε ίσως και άλλους μαθηματικούς υπολογισμούς ή να ψάξουμε και για άλλες «γωνίες» των δυνατοτήτων αυτού του σημαντικού χημικού μορίου της ζωής. Παλαιότερα είχε ακουστεί, εκτός από κβαντικούς υπολογιστές, μελλοντικά να έχουμε και υπολογιστές DNA. Σκεφτείτε την σύνδεση τέτοιων υπολογιστών στο μέλλον με την Τεχνητή Νοημοσύνη. Με το π ως γνωστό ελέγχεται η αξιοπιστία και οι δυνατότητες των υπολογιστών (Η/Υ). Τέλος σ’ αυτά τα προλογικά να προσθέσουμε και τα εξής: Κάποιοι έχουν πει, ότι δεν θα εμπλουτιστεί μόνο η βιολογία από τα μαθηματικά, αλλά και η βιολογία θα εμπλουτίσει τα μαθηματικά.

   Με τη λήξη του κάπως μακρόσυρτου, αλλά ταυτόχρονα και πολύ σημαντικού προλόγου, ας πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά: Οι δομικοί λίθοι του DNA ονομάζονται νουκλεοτίδια και έχουν συγκεκριμένη χημική δομή. Ανάλογα με την αζωτούχα βάση που περιέχουν διακρίνονται σε νουκλεοτίδια της Αδενίνης (Α), της Θυμίνης (Τ), της Γουανίνης (G) και της Κυτοσίνης (C). Τα μοριακά τους βάρη αντίστοιχα είναι 331, 322, 347 και 307. Στην εργασία αυτή δεν μας ενδιαφέρει η χημική σύσταση ή άλλες ιδιότητες των νουκλεοτιδίων, παρά μόνο οι αντίστοιχες καθαρές αριθμητικές τιμές των μοριακών τους βαρών. Οι αριθμοί 331, 347, 307 είναι πρώτοι (διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και την μονάδα), ενώ ο 322 είναι σύνθετος (όχι πρώτος). Με τα σύμβολα A, T, G, C θα συμβολίζουμε ταυτόχρονα τα αντίστοιχα νουκλεοτίδια, τις αντίστοιχες αζωτούχες βάσεις, τα μοριακά τους βάρη, τους αντίστοιχους αριθμούς και τις πράξεις μεταξύ τους κ.λπ. Εύκολα μπορούμε να δούμε από αθροίσματα, διαφορές ή γινόμενα μεταξύ τους, τα εξής: A+T+G+C=1307, A+T=653, AT-GC=53, όλοι πρώτοι αριθμοί. Επίσης μια μαθηματική σχέση που συνδέει αυτούς τους αριθμούς είναι:

G = Α∙Τ +10C/9+C

   Δεν την αναλύουμε περισσότερο, γιατί δεν έχει άμεση σχέση με το θέμα του π που μας ενδιαφέρει. Ίσως ενδιαφέρει ειδικούς της θεωρίας αριθμών, γιατί αν στον παραπάνω μαθηματικό τύπο θέσουμε (κατ’ αναλογία των νουκλεοτιδίων) στη θέση του C και G κάποιο πρώτο αριθμό, υπολογίζουμε το γινόμενο Α·Τ. Αν θέσουμε στον Α (πάλι κατ’ αναλογία) έναν πρώτο αριθμό και στον Τ έναν σύνθετο που εκφράζει το γινόμενό τους, το άθροισμα των αριθμών όπως και στο DNA είναι πολύ συχνά πρώτος αριθμός. Όχι πάντα αλλά πολύ συχνά. Παράδειγμα: C=3, G=11, βρίσκουμε ΑΤ=102. Θέτουμε Α=2 (ο μόνος άρτιος πρώτος αριθμός) και επομένως Τ=51 (σύνθετος). Το άθροισμα 3+11+2+51=67 (πρώτος αριθμός) κ.λπ. Ο παραπάνω μαθηματικός τύπος λειτουργεί πολλές φορές σαν μια μικρή  «μηχανή» παραγωγής πρώτων αριθμών.

   Μια άλλη μαθηματική σχέση, η πιο σημαντική για το θέμα της εργασίας είναι:

(G+T) ‒ (A+C)=31 (πρώτος αριθμός και αυτός). Εδώ το σημαντικό δεν είναι η συγκεκριμένη ιδιότητα του αριθμού 31, αλλά ότι με τον αριθμό αυτό μπαίνουμε στα «αχαρτογράφητα νερά» του π σε σχέση με το DNA. Το 31 είναι το π με ένα δεκαδικό ψηφίο, πολλαπλασιασμένο επί δέκα. Και δεν είναι μόνο αυτό. Εύκολα βλέπουμε να ισχύει:

G + T ‒ A ‒ C = 31

14G + 6T ‒ 14A ‒ 6C = 314

141G + 59T ‒ 141A ‒ 59C = 3141

1415G + 585T ‒ 1415A ‒ 585C = 31415

14159G + 5841T ‒ 14159A ‒ 5841C = 314159 κ.λπ.

Πίνακας 1

   Παράδειγμα: στη πέμπτη σειρά έχουμε

14159 · 347 + 5841 · 322 ‒ 14159 · 331 ‒ 5841 · 307 = 314159

Το ίδιο ισχύει και συνεχίζεται για κάθε σειρά. Γιατί η σχέση κάθε σειράς μας δίνει το π=3,14159… με ένα, δύο, τρία κ.λπ. δεκαδικά ψηφία, πολλαπλασιασμένο αντίστοιχα με 10, 100, 1000 κ.λπ. Επίσης το άθροισμα των συντελεστών των G και Τ, αντίστοιχα και των Α και C σε κάθε σειρά, είναι διαδοχικά 2, 20, 200, 2000, 20000 κ.λπ. Μια εκπληκτική σύνδεση του DNA με το π. Με διάθεση να αστειευτώ και φυσικά τηρουμένων των αναλογιών, όλα τα ανωτέρω ίσως θυμίζουν σε κάποιους την προσέγγιση του π από τον Αρχιμήδη. Εκεί είχαμε πλευρές εγγεγραμμένων πολυγώνων, εδώ κατ’ αναλογία νουκλεοτίδια.

Συνεχίζοντας, θα προσπαθήσουμε να «μαθηματικοποιήσουμε» διάφορες διαδικασίες, για να καταλήξουμε εκεί που είναι ο τελικός στόχος της εργασίας. Έστω δύο διαδοχικές σειρές π.χ. η v και η v+1. Οι συντελεστές των G και Τ (ανάλογα για το Α και Τ) της νιοστής σειράς είναι φ και x αντίστοιχα και το συνολικό αποτέλεσμα Ζ1. Ανάλογα οι συντελεστές και το αποτέλεσμα της v+1 σειράς είναι y, ω και Ζ2. Συγκεκριμένα:

φG + xT – φA – xC = Z1 (1)

yG + ωT – yA – ωC = Z2 (2)

   Παράδειγμα: για την τρίτη σειρά (v=3) έχουμε φ=141, x=59 και z1=3141. Για την επόμενη τέταρτη σειρά (v+1=4) έχουμε y=1415, ω=585 και Z2=31415 (βλέπε πίνακα 1) κ.λπ. Επίσης έχουμε φ+x=2· 10v-1 (3) και y+ω=2·10v (4). Παράδειγμα: για v=2 φ+x=20 και y+ω=200 (βλέπε επίσης πίνακα 1) κ.λπ. Από τις σχέσεις (1) και (2) και τις αριθμητικές τιμές των G, T, A, C αν κάνουμε μαθηματική ανάλυση, μπορούμε να καταλήξουμε σε διάφορες μαθηματικές σχέσεις και τύπους, που όμως δεν μας βοηθούν στον υπολογισμό των δεκαδικών ψηφίων του π. Μπορούμε να αναφέρουμε κάποιες από αυτές (χωρίς απόδειξη ή παραδείγματα):

Ζ2χ−Ζ1ω/Ζ1y−Ζ2φ = 16/15.

      Επίσης αν α είναι το ψηφίο των μονάδων του Z2, μεταξύ των φ, x, y, ω και α, ισχύουν διάφορες σχέσεις όπως: y – ω = 10 (φ-x) + 2α, y = 10ν + 5 (φ-x) + α, xy – φω = 2· 10v-1 ·α κ.λπ. Τις παρουσιάζουμε περιληπτικά αυτές τις σχέσεις (αν και δεν μας βοηθούν στο στόχο της εργασίας), αφ’ ενός για να δούμε μαθηματικές «ομορφιές» που συναντούμε στο DNA, αφ’ ετέρου μήπως κάποιοι άλλοι ερευνητές τις αξιοποιήσουν καλύτερα ή και γιατί όχι, να βρουν και άλλες πιο σημαντικές με θεωρητικό ή και πρακτικό αποτύπωμα. Όμως για να πετύχουμε τον τελικό στόχο της εργασίας συνεχίζουμε με το εξής: είδαμε στον πίνακα 1 (στις διάφορες σειρές), τους αριθμητικούς συντελεστές των νουκλεοτιδίων και τις σχέσεις που αναπτύσσουν μεταξύ τους. Αν πάρουμε τα πηλίκα (λόγους), των συντελεστών αυτών κάθε σειράς (βλέπε πίνακα 2), παρατηρούμε:

1/1 =1

14/6 = 2,333333333 …

141/59 = 2,389830508 …

1415/585 = 2,418803419 …

14159/5841 = 2,424071221 …

141592/58408 = 2,424188467 …

……… …….. ………………….

                            2,42422678468 …

Πίνακας 2

   Με τη βοήθεια Η/Υ και για μεγάλο αριθμό διαιρέσεων (ο υπολογιστής μου «άντεξε» μέχρι το 307 ψηφίο του π), ο λόγος των συντελεστών (π.χ. κ και λ) μετά από το 12ο ψηφίο, τείνει σταθερά σ’ έναν πολύ συγκεκριμένο αριθμό, τον 2,42422678468 … Με μια πρώτη ματιά ο αριθμός αυτός φαίνεται τυχαίος. Δεν είναι όμως έτσι. Ο αριθμός αυτός προσεγγίζει σε μεγάλο βαθμό τα 3/2 του αριθμού Φ = 1,618033988 … (χρυσή τομή). Δηλαδή 3/2 .Φ = 2,427050983 …

   Επίσης είναι γνωστός στους μαθηματικούς ο προσεγγιστικός μαθηματικός τύπος πΦ= 6/5 Φ2 μεταξύ του π και του Φ. Στη συνέχεια κάνοντας λογοπαίγνιο και χαριτολογώντας για τα πιο πάνω, ας χρησιμοποιήσουμε μια φράση της καθομιλουμένης όταν θέλουμε να δηλώσουμε κάτι που γίνεται αμέσως ή στο άψε-σβήσε: μελέτη της διπλής έλικας του DNA στο «πει και φει». Ας φιλοσοφήσουμε όμως και λίγο. Μετά από όλα αυτά, τι θα μπορούσαμε να υποθέσουμε; Απώτερος σκοπός της φύσης είναι η επίτευξη του τέλειου κύκλου ή της τέλειας σπείρας; Γνωρίζουμε ότι η λογαριθμική σπείρα συνδέεται με το Φ. Πιθανόν όταν αυτό επιτυγχάνεται (περίπτωση σχηματισμού του DNA), δημιουργείται ζωή. Η ζωή με την μορφή του DNA αγαπάει τον τέλειο κύκλο, την τέλεια σπείρα, αγαπάει όπως είδαμε και πιο πάνω τους πρώτους αριθμούς που είναι η βάση του μαθηματικού συστήματος και δεν απορρίπτει την χρυσή τομή των πραγμάτων. Μεταλλάξεις που συμβαίνουν συνεχώς και σε πολύ μεγάλο αριθμό και που οδηγούν σε απομάκρυνση της στερεοχημικής δομής του DNA (της λειτουργικότητας και της πληροφορίας που περιέχει) από την τελειότητα του κύκλου, η ίδια η φύση τις απορρίπτει. Επιτρέπει να επιβιώσουν μόνο εκείνες που τηρούν συγκεκριμένες προϋποθέσεις (διατήρηση αρτιότητας σχήματος, λειτουργικότητας και πληροφορίας), και οι οποίες κατά κανόνα είναι θεμιτές και μπορούν να υποστηρίξουν τη ζωή.

   Τελειώνοντας, ας δώσουμε ένα παράδειγμα βιο-υπολογισμού (με το DNA), δεκαδικών ψηφίων του π: Υποθέτουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το έβδομο δεκαδικό ψηφίο του π. Με έξι δεκαδικά ψηφία έχουμε π = 3,141592 … Το έβδομο δεκαδικό ψηφίο θα είναι κάποιο ψηφίο από τη δεκάδα 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Στην έβδομη σειρά με βάση τα πιο πάνω, ισχύει φ + x = 2·106. Αν το έβδομο ψηφίο είναι π.χ. μηδέν (0), τότε φ = 1415920 και x = 584080. Επομένως φ/x = 2,424188467 … Αν το έβδομο ψηφίο είναι 1, τότε φ = 1415921 και x=584079, επομένως φ/x = 2,42419433 … Παρόμοια εργαζόμενοι για το ψηφίο 2 έχουμε φ/x = 2,424200192 … Για το ψηφίο 3 αντίστοιχα έχουμε 2,424206055… για το 4 → 2,424211918 …, για το 5 → 2,42421778 …, για το 6 → 2,424223643 …, για το 7 → 2,424229506 …, για το 8 → 2,424235368 … και για το 9 → 2,424241231 … Βλέπουμε ότι το ψηφίο 6 είναι πιο κοντά στον αριθμό 2,42422678468 … που έχουμε βρει στον πίνακα 2 της εργασίας. Άρα το έβδομο δεκαδικό ψηφίο του π είναι το 6. Δηλαδή π =3,1415926 … (το π με επτά δεκαδικά ψηφία) κ.τλ.

   Με τη βοήθεια Η/Υ ή συνεργασία Η/Υ, μπορούμε να υπολογίσουμε όσα δεκαδικά ψηφία του π θέλουμε.

* Ο Μαρίνος Σπηλιόπουλος είναι: Βιολόγος – Βιομαθηματικός – Ερευνητής. E-mail: marinosspl@gmail.com.

Σημείωση από τΜτΒ: Ευχαριστώ το φίλο και συνάδελφο για την αποστολή της μελέτης του προς δημοσίευση.